信息安全数学基础
（注：18级新增科目，在原本信安数学的基础上扩充了教学内容，学分扩充为 4，周学时为 4。同时，17 级及以前有 2 个教学班。18 级缩减为 1 个。19 级开始由第四学期移至第三学期教学。）
100583 信息安全数学基础
一、总述
1. 教材
- 数论讲义上册 柯召
- 数论讲义下册 柯召
- 抽象代数基础教程 J.Rotman
- 数论概论 Joseph H. Sliverman 布朗大学 机械工业出版社
- 密码学原理与实践 （第 2 版） Kenneth H. Roser 冯登国译 电子工业出版社
其中 1，2 是规定的教材，5 是作业需要使用到的教材，后续教材都是选用，可作为辅助。
2. 作业
每次课上都或多或少布置一些作业，作业基本为教材课后习题，并且大多课上讲过思路和方法。
作业时间较为宽松。
3. 课堂
会签到，但不是每堂课都签到。
4. 考试
2017 级
该课程于 17 级前教授内容大多为数论知识，据 17 级信安数学基础学生口述，题目大多为课后习题。
2018 级
据 18 级学生反馈，题目大多出自课件。
18 级（2020 春季学期）为机考，客观题 ：主观题 = 2：3，题量较小。
客观题主要由 单项选择题 和 判断题 组成：
- 单项选择题：比较基础，诸如 简单同余方程计算、同余方程解数、欧拉函数定义、元素次数的定义、勒让德符号计算、有限域中计算、椭圆曲线定义和性质、简单离散对数计算 等等。
- 判断题：看重概念，既然是概念，大多出自 有限域、因子分解、离散对数 几个章节，比如 零环、整环和交换环、域的关系和概念、正规子群、核 / 像、多项式系数定义、简单 CRT 计算、Shank、Dixon 随机平方、Wiener 算法、通用算法、适应性算法概念 等等。
主观题 18 级（2020 春季学期）由 10 道大题组成：
- 考察 既约分数 的性质；
- 简单求解 一次同余方程；
- 类 Wilson 定理的证明，配对法 使用；
- 群基本性质证明，数学归纳法 使用；
- 原根证明题，有关 次数、欧拉函数、Fermat；
- 原根计算题，有关原根 个数 ；
- 复杂的 勒让德符号 计算，涉及 二次互反、高斯引理各推论、同余分析；
- 有限域计算，有关 欧几里得算法；
- 简单 连分式 计算；
- 简单 生成函数 计算。
（注：上述为 18 级题型，仅提供复习思路，并不代表后续所有年级考试均仅考查上述内容！！！）
对于 18 级考卷来说，共 10 道单选、20 道判断、10 道大题。
题目数量虽多，但题量 / 计算量仍然较小。
大部分主观题为证明题，且大多 来自课件（某些题目课件无答案），笔者甚至考试前夜还碰巧咨询过老师一道考试原题（尽管如此还是做错了，属实不行）。
大部分计算题计算量较小，如尝试计算 49 的欧拉函数值；模 19 的原根个数。
对于 18 级，试卷作如下点评：
- 初等数论 / 抽象代数 仍是主要考察重点，特别是 二次剩余、原根 两点。但不得不说 CRT、椭圆曲线 部分连续两年考察并不深入；
- 组合数学部分，诸如 多项式系数、生成函数、容斥原理、鸽笼原理，考察并不深入；
- 密码学部分，诸如 素性检测、因子分解、离散对数、连分数 方面考察不是很深入。
2019 级
据 19 级学生反馈，19 级（2020 秋季学期）为线下常规考试，考卷构成与 18 级相比产生了一些改变，但试题特点和考察点基本一致，具体为 7 道选择题（每题 2 分）、21 道判断题（每题 1 分）、4 道填空题（每题 3 分）、7-8 道大题（每题 5-10 分不等）。
| 章节 | 知识点 | 题型 | 题目 | 出处 | 分值 | 总分值 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 整数理论 | mod 运算性质 / 群元素的阶 | 计算大数取模 | 选择 | 第四章 p15，第六章 p21 | 2' | 20 |
| 整除性质 | 证明整除式恒成立 | 大题 | 第四章习题 1 | 6' | ||
| （拓展）欧几里得算法 | 证明既约分数 | 大题 | 第四章习题 24 | 5' | ||
| 求某数的逆（也可用欧拉定理） | 填空 | 第四章习题 K4.2 | 3' | |||
| 求多项式的逆 | 大题 | 第十一章习题 4 | 4' | |||
| 同余式 | 完全剩余系 | 证明通过完全剩余系 | 大题 | 第五章 p20，习题 6 | 8' | 15 |
| 中国剩余定理 | 求同余式组解的个数 | 选择 | 第五章 p70，习题 24 | 2' | ||
| 证明多项式恒为整数 | 大题 | 第五章习题 14 | 5' | |||
| 群 | 群 / 子群 / 循环群的概念和性质 | 判断对错（说明理由） | 判断 | 第六章习题 4 | 5' | 12 |
| 同态与同构 | 证明f同构 | 大题 | 第六章习题 5 | 5' | ||
| 原根 | 循环群 | 判断循环群 | 选择，判断 | 第七章 p31，第十一章 p89 | 3' | 10 |
| 存在原根的充要条件 | 证明素数和原根的关系 | 大题 | 第七章习题 1 | 8' | ||
| 二次剩余 | 二次同余式解的个数 | 求二次同余式解的个数 | 选择 | 第八章习题 2 | 2' | 8 |
| 勒让德符号（高斯引理、欧拉判别） | 第八章习题 3 | |||||
| 雅可比符号（二次互反） | 求雅可比符号的值 | 大题 | 第八章习题 5 | 6' | ||
| 平方乘算法 | 第九章 | 2 |
||||
| 素性检测 | 三种素性检测方法的原理 | 判断 | 第十章 | 2 |
||
| 有限域 | 环 / 域 / 环同态的概念和性质 | 判断对错（说明理由） | 判断 | 第十一章习题 1, 2 | 6' | 10 |
| 有限域的计算 | 计算多项式的和与积 | 大题 | 第十一章习题 4 | 4' | ||
| 椭圆曲线 | 椭圆曲线上的加法 | 求椭圆曲线与直线交点的和 | 选择 | 第十二章 p6 | 2' | 2 |
| 因子分解 | 各算法概念 | 判断 | 第十三章 | 2 |
||
| 离散对数 | 离散对数问题的算法 | 求离散对数 | 填空 | 第十四章 | 3' | 4 |
| 通用算法的概念 | 判断是否为通用算法 | 判断 | 第十四章 p22 | 1' |
注：
- 题目和出处等信息仅取自 2020 秋季学期情况；
- 分值和总分值为估计值。
几位不具名的同学给出了上述知识点和考点分析，并建议：
- 以老师的教学和复习提纲为准。
- 在
1的前提下，上述分析可用作学习或复习提纲，但不建议仅面向试题复习。 - 在
2的前提下，仅建议在必要时刻使用此提纲。
二、任课教师
1. 07104 Yang
这门课仅由这一位老师负责。
Yang 老师的课，上课听得好，不如下课问得好。
礼貌负责，态度端正。发消息 11 点之前甚至可能秒回。会耐心地解答问题，在领会问题后可以直击要害，对所上内容有较强的把握，业务能力非常的强。
但有时会揣摩不出问题的内涵。对需要老师解答的问题，建议清晰地描述它。